Math2A -Analyse 2

Examen

Organisation et intervenants

- CM : 20 heures, 10 séances. TD : 30 heures, 15 séances.

- J.L. Jaramillo (responsable, Bureau: A323), CM ( Jose-Luis.Jaramillo at u-bourgogne.fr ).

- R. Ramanakoraisina, TD Je3,Ve3 ( Rodolphe.Ramanakoraisina at u-bourgogne.fr ).

- M. Triestino, TD Ma4 (Michele.Triestino at u-bourgogne.fr ).

- J. Darné, TD Lu3 (Jacques.Darne@u-bourgogne.fr).

Références:

- Notes cours.

- Walter Rudin, « Principes d’analyse mathématique », Ediscience international (1995).

TD :

TD1, TD2, TD3 (corrigé TD3), TD4 (corrigé TD4), TD5, (corrigé TD 5).

Contrôle Partiel :

Mercredi 4 mars, 14h00.

Partiels années précédentes :

Partiel 2017, Partiel 2018, Partiel 2019.

Examen 2017, Examen 2018, Examen 2019.

Consultation copies :

Organisation des activités pendant suspension des cours :

1. Semaine 16-20 mars :

1.a) CM (suivant le polycopié) :

i) Théorème de Weierstrass (th. 3.3) :

Réviser la première partie de la preuve, vue en cours (c.à.d. le fait que f(‑[a,b]) est un ensemble fermé), et étudier la deuxième partie de la preuve, notamment que f([a,b]) est borné.

ii) Commencer l’étude de la dérivabilité : Définitions 3.5 et 3.6 d’une fonction dérivable dans un point, dérivable à gauche et à droite : culminer avec la Proposition 3.2.

iii) Montrer qu’une fonction dérivable dans un point est nécessairement continue dans ce point : Proposition 3.3.

iv) Notion de dérivabilité dans un intervalle et notion de fonction dérivée : Définition 3.7 et 3.8.

v) Opérations sur les fonctions dérivables : Proposition 3.4. Étude des preuves présentées. Spécial attention au point 2 avec la dérivée de la composition de fonctions (« règle de dérivation en chaîne ») et la dérivée de la fonction réciproque: étude des exemples d’application pour la dérivée de la racine carré et du logarithme. De manière analogue, déduire la dérivée de arctan(x) à partir de la dérivée de la dérivée de tan(x).

vi) Notion de dérivées d’ordre supérieure : Définition 3.5. Preuve de la formule de Leibnitz : Proposition 3.5.

vii) Vers le théorème de Rolle : étudier la Proposition 3.6 et maîtriser la preuve. Condition nécessaire pour étudier le théorème de Rolle et ses conséquences dans la séance suivante.

1.b) TDs (pour des doutes/questions, consulter le responsable de votre groupe ; voir ci-dessus) :

i) Travailler en profondeur la résolution des exercices 1, 4, 5,7 et 8 à partir du matériel du cours.

ii) Explorer et chercher (si nécessaire) bibliographie à propos de la résolution de l’exercice 2, 3 et 6.

iii) Ignorer les exercices 9 et 10 sur la continuité uniforme et Lipschitz.

iv) Chaque étudiant pourra envoyer la résolution d’un exercice de son choix au responsable de son groupe de TD jusqu’à le 1^er avril : en ce moment je posterai un corrigé de la feuille TD3 dans cette page et il ne sera plus possible l’envoie des exercices résolus aux responsables de TD.

2. Semaine 23-27 mars :

2.a) CM (suivant le polycopié) :

i) On reprend avec la Proposition 3.6. comme rappel, avant passer au théorème de Rolle et ses conséquences, le sujet principal de la séance de cette semaine.

ii) Étudier le théoème de Rolle (Th. 3.4) et sa preuve. Ce théorème, avec l’air tout simple, est à la base de développement amenant très loin. On va voir trois théorèmes liés, ceux de Lagrange, Cauchy et Darboux dont les applications sont très nombreuses.

iii) Théorème des accroissment finis ou de Lagrange : compléter la preuve explicitement, comme application directe du théorème de Rolle.

iv) Théorème de Cauchy et théorème des accroissements finis généralisés (th. 3.6 et 3.7, respectivement) : il s’agit de l’application du théorème de Rolle à différentes fonctions choisies de manière appropriée. C’est important de faire les preuves pour comprendre la logique.

v) Le théorème de Darboux (Th. 3.8 se donne sans preuve). Il montre que, dans le cas d’une fonction qui est dérivée d’une autre fonction, on a pas besoin de la continuité pour garantir que l’image d’un intervalle est un intervalle (théorèmes de valeurs intermédiaires).

vi) Dans la section 3.4 se discutent plusieurs applications du théorèmes des accroissements finis. On commence par l’inégalité des accroissements : même si elle est un résultat plus faible que l’égalité des accroissements finis dans la droite réelle, elle a la vertu de se généraliser aux dimensions supérieures (ce n’est pas le cas pour l’égalité). Dans les sections 3.4.2 et 3.4.3. se donnent des autres applications : notamment, une condition suffisante de dérivabilité dans un point d’abord, et après l’utilisation du signe de la dérivée pour contrôler la variation d’une fonctions dérivable ainsi comme la caractérisation d’extremum local.

vii) La section 3.4.4. est dédiée à une première prise de contacte avec la notion de convexité de fonctions : ceci est importante, dans le contexte des fonctions deux dérivables pour déterminer le type d’extremum et pour la notion de point d’inflexion.

viii) Étudier la définition 3.12 à propos de classes Cⁿde fonctions (n fois dérivables en continuité). S’appuyer de l’exercice 5 de la feuille de TD4.

ix) Formules de Taylor, premier contacte : étudier les énoncés et les différentes hypothèses dans chacune des versions du théorème de Taylor (Th. 3.11), ainsi comme la relation entre) f(x_o+h) et le polynôme de Taylor d’ordre n en x_o.

2.b) TDs (pour des doutes/questions, consulter le responsable de votre groupe ; voir ci-dessus) :

i) Travailler en profondeur la résolution des exercices 1,2,3 4, 5,6,7,8 et 10. Les exercices 5 et 8 sont particulièrement importants.

ii) Explorer et chercher (si nécessaire) bibliographie à propos de la résolution de l’exercice 9.

iii) Le matériel nécessaire pour les exercices 11,12,13 et 14 ne sont pas encore discuté.

3. Semaine 30 mars - 3 avril :

3.a) CM (suivant le polycopié) :

L’objectif de cette semaine est de finir le chapitre sur la dérivabilité, notamment de comprendre les différentes versions de la formule de Taylor dans la section 3.5 (noter dans ce sens-là, la section 3.5 a été complètement modifiée par rapport à la version précédente du polycopié, veillez télécharger la nouvelle version).

i) On reprend avec la notion de fonction de classe Cⁿ, qui sera clé pour comprendre pas seulement la preuve mais aussi l’énoncé du théorème sur les formules de Taylor.

ii) On introduit (Déf. 3.13) le polynôme de Taylor d’ordre n d’une fonction n fois dérivable dans un point. En particulier on montre que le polynôme de Taylor d’un polynôme coïncide avec lui même.

iii) On passe au théorème 3.11. le coeur de cette séance. On étudie en détail les énonces des trous formules de Taylor, en comparant et en essayant de comprendre les différences entre les hypothèses dans le cas de formule de Taylor-Young, Taylor-Lagrange et la formule de Taylor avec reste intégral. À continuation on compare la formule même dans chaque cas, en essayant de comprendre les différentes implications en fonction de différentes hypothèses. Finalement, on essaye de comprendre les différent points dans la Remarque 3.9., en revenant sur les trois énoncés dans le théorème 3.11.

iii) On souligne le fait que la formule de Taylor-Lagrange proportionne une généralisation du théorème des accroissements finis. En effet, pour n=0 on récupère ce résultat.

iv) On insiste sur le fait que la conséquence d’ajouter des conditions de plus en plus fortes sur les versions de la formule de Taylor rendre l’énoncé plus puissant, notamment le contrôle sur l’erreur commis par l’approximation par le polynôme de Taylor. En particulier, la version de Taylor-Young ne permet pas d’estimer (majorer) l’erreur commis dans l’approximation, pendant que Taylor-Lagrange permet le faire : les exercices 11, 12 et 13 de la feuille TD4 exploitent ce fait pour obtenir l’approximation de la valeur d’une fonction dans un point ou pour dériver des inégalités (dans le même esprit que l’exercice 8 avec le théorème des accroissements finis).

v) Le pas suivant est de parcourir est comprendre les preuves de Taylor-Young et Taylor-Lagrange. Les preuves ne sont pas courtes, mais elles sont des bons exemples illustrant les différents résultats dérivés du théorème de Rolle. Il faut alors les étudier. Un point intermédiaire important est le théorème 3.6 des accroissements finis généralisés, qui est le sujet de l’exercice TD4. C’est une application directe du théorème de Rolle et c’est conseillé fortement d’essayer de le résoudre.

vi) À continuation on passe à la section 3.6. Cette section a un « goût » plus « culturel », dans le sens qu’il faut la étudier et se familiariser avec les concepts et les exemples, mais elle ne sera pas l’objet d’examen. La partie la plus importante est la définition 3.14. En particulier il faut comprendre que le reste de Taylor-Young on peut l’écrire o(hⁿ⁺¹) (avec « petit ‘o’ »).

vii) On passe à la notion de développement limité, défini dans la Définition 3.16. Noter que cette notion ne fait participer, à ce niveau, la notion de dérivée : ainsi, on peut parler de développements limités de fonctions non-dérivables. Le point important est que si ce développement existe, il est unique : ceci est énoncé dans la Proposition 3.12, qui est le sujet de l’exercice 14 de la feuille TD4. La conséquence fondamentale est que si une fonction est de classe Cⁿet n+1 fois dérivable dans un point, alors Taylor-Young nous garantie l’existence du développement limité, tandis que la Prop. 3.12 garantie son unicité. Les points 3.7.2 et 3.7.3 sont aussi « culturels ».

3.b) TDs (pour des doutes/questions, consulter le responsable de votre groupe ; voir ci-dessus) :

i) Continuer à travailler en profondeur la résolution des exercices 1,2,3 4, 5,6,7,8 et 10. Les exercices 5 et 8 sont particulièrement importants.

ii) Explorer et chercher (si nécessaire) bibliographie à propos de la résolution de l’exercice 9.

iii) Travailler les exercices 11,12,13 et 14, ils ont tous importants.

iv) Chaque étudiant pourra envoyer la résolution d’un exercice de son choix de la feuille TD4 au responsable de son groupe de TD jusqu’au 15 avril : en ce moment je posterai un corrigé de la feuille TD4 dans cette page et il ne sera plus possible l’envoie des exercices résolus aux responsables de TD.

4. Semaine 6-10 avril :

4.a) CM (suivant le polycopié) :

L’objectif de cette semaine est d’introduire les éléments de base de l’intégrale de Riemann. Les résultats fondamentales de la théorie sont présentés sans démonstration, sauf des petits détails à la fin sur l’intégration par parties et la preuve qui complète le théorème de Taylor, avec la formule de Taylor avec reste intégrale. La théorie de l’intégration sera reprise dans des cours suivants et la présentation dans notre cours est, essentiellement, une invitation au sujet, focalisé sur des fonctions bornées. Tous les résultats énoncés dans ce chapitre doivent être connus, ainsi comme les deux seules démonstrations.

i) Dans la section 4.1.1 on commence avec la notion de partition d’un intervalle, ce qui permet de définir dans la section 4.1.2 la « somme supérieure » et la « somme inférieure » d’une fonction associé à cette partition. En faisant appel au principe de la borne supérieure (et inférieure), on définie l’intégrale supérieure et l’intégrale inférieure. La fonction est dite intégrable su sens de Riemann si ses intégrales supérieure et inférieure coïncident. Dans la section 4.1.3 on donne un critère de convergence qui se correspond essentiellement avec la caractérisation de la borne supérieure et inférieure.

ii) Dans la section 4.2 on donne plusieurs résultats sur l’intégration. La section 4.2.1 es focalisée sur la continuité et la monotonicité de fonctions bornés, avec les théorèmes 4.3 et 4.4. Après le théorème 4.5 donne, pour des fonctions continues, un analogue au théorème des accroissements finis dans le contexte des intégrales.

iii) Dans la section 4.2.2 on énonce que l’ensemble de fonctions intégrables est un espace linéaire et que l’opérateur « intégration » est un opérateur linéaire. La section est complétée avec un ensemble des inégalités intégrables basiques et avec le théorème de changement de variables lié à la composition de fonctions.

iv) La section 4.3 est dédiée à la relation entre intégration et dérivation. Celui-ci est un sujet fondamental dans ce cours d’analyse. On commence avec la définition d’intégrale indéfinie d’une fonction intégrable et le Théorème 4.11 affirme que cette fonction est continue. Le théorème 4.12, le « premier théorème fondamental du calcul » nous dit que pour une fonction continue son intégrale indéfinie est dérivable et sa dérivée coïncide avec la fonction de départ.

v) À continuation on introduit la notion de primitive d’une fonction f, comme une fonction F dont la dérivée F’ est la fonction de départ : F’=f. Cette notion n’est pas directement associée à la notion d’intégration. C’est la règle de Barrow ou « deuxieme théorème fondamental du calcul » qui proportionne la relation fondamentale entre la primitive d’une fonction est son intégrale dans un intervalle.

vi) La section finit avec le théorème 4.14 d’intégration par parties et son application à la preuve de la formule de Taylor avec reste intégral.

4.b) TDs (pour des doutes/questions, consulter le responsable de votre groupe ; voir ci-dessus) :

i) L’exercice le plus important est l’exercice 4, car il demande maîtriser le « premier théorème fondamental du calcul » ainsi comme la règle de dérivation en chaîne. Il s’agit alors d’un exercice qui intègre des contenus fondamentaux du chapitre sur la dérivation et du chapitre sur l’intégration.

ii) L’exercice 5 est un exercice pour pratiquer le calcul des intégrales. Il faut le résoudre en faisant appel explicite au théorèmes qu’on utilise pour pouvoir faire des calculs.

iii) Le reste des exercices ont une étoile (*) et son plutôt liés à une « ouverture » des sujets discutés dans le chapitre.

iv) Chaque étudiant pourra envoyer la résolution d’un exercice de son choix de la feuille TD5 au responsable de son groupe de TD jusqu’au 6 mai : en ce moment je posterai un corrigé de la feuille TD5 dans cette page et il ne sera plus possible l’envoie des exercices résolus aux responsables de TD.

5. Semaine 13-17 avril :

5.a) CM :

Étant donné la densité du matériel des deux semaine précédentes, avec les sujets sur la dérivabilité et l’introduction à l’intégrale de Riemann, cette semaine on fait une pause. Pour le programme du cours, il reste qu’une petite introduction aux Équations Différentielles Ordinaires (EDOs), qu’on fera probablement dans une séance de Teams (de Microsoft, mais gratuit) après les « vacances ».

Dans ce contexte, j'ai crée un Teams "Math2A" pour mieux nous communiquer.
Vous devriez vous y inscrire (utiliser toujours l'adresse officielle ...@etu.u-bourgogne.fr )
Les pas à suivre sont les suivants :
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1) Créer son compte Microsoft en utilisant comme identifiant votre adresse mel de l'université via l'adresse
https://www.microsoft.com/fr-fr/education/products/office
2) Télécharger l’application Teams sur votre ordinateur :
https://products.office.com/fr-fr/microsoft-teams/group-chat-software
3) Rejoindre le Team "Math2A". Deux options:
3.a) Lien:
https://teams.microsoft.com/l/team/19%3a3a083311c37e4cd0a35d439520d2df0b%40thread.tacv2/conversations?groupId=f6639dfe-c788-4352-9fed-b1d271dae7f1&tenantId=2fa58faf-7eb1-48b9-9964-a92659d1c5b8
3.b) Utiliser le code: d3g1wai
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5.b) TD :

On continue sur la feuille TD5 (la dernière feuille de TD).

ii) L’exercice 5 est un exercice pour pratiquer le calcul des intégrales. Il faut le résoudre en faisant appel explicite au théorèmes qu’on utilise pour pouvoir faire des calculs.

iii) Le reste des exercices ont une étoile (*) et son plutôt liés à une « ouverture » des sujets discutés dans le chapitre.

6. Semaine 18-22 mai :

Séance d’introduction aux équations différentielles ordinaires. Les notes de la séance peuvent être récupérées ici : Séance EDOs

Aussi, la séance est enregistrée : pour accéder au vidéo cliquer ici (aussi on peut accéder au vidéo dans le « Teams » Math2A, dans le canal « Séance EDO », utiliser l’émail de l’Université pour y accéder).

Examen Final :

L’examen final aura le 5 juin (créneau à déterminer). le CT sera transformé en CC en temps limité, qui aura lieu dans la semaine du 2 juin (créneau à déterminer).

Pour la session 2, elle aura lieu dans la semaine de 6 juillet.